Sea G un grafo dirigido con m nodos. La representación secuencial de G en la memoria, o sea, la representación de G por su matriz de adyacencia A, tiene unas cuantas desventajas importantes.

En primer lugar, puede ser difícil insertar y eliminar nodos de G, esto es por que el tamaño de A debería ser cambiado y los nodos deberían ser reordenados, así que habría muchos cambios en la matriz A; más aun, si el numero de aristas es O(m) o O(m log2 m), entonces la matriz A estará desperdiciada (contendrá muchos ceros); por tanto, se desperdiciará una gran cantidad de espacio; entonces G normalmente se representa en memoria por una representación enlazada, también llamada estructura de adyacencia.

Cada elemento de la lista NODO corresponderá a un nodo de G y será un registro de la forma:

Aquí NODO será el nombre o valor clave del nodo, SIG será un puntero al siguiente nodo de la lista NODO y ADY será un puntero al primer elemento de la lista de adyacencia del nodo, que se mantiene en la lista ARISTA; el área restante indica que puede haber otra información en el registro, tal como el grado de entrada GraEnt del nodo, el grado de salida GraSal del nodo, el ESTADO del nodo durante la ejecución de un algoritmo, etc.

Adicional a esto, cada elemento de la lista ARISTA corresponderá a una arista de G y será un registro de la forma:

Donde el campo DEST apuntará a la posición en la lista NODO del nodo destino o terminal de la arista, el campo ENL enlazará juntas las aristas con el mismo nodo inicial, o sea, los nodos con la misma lista de adyacencia, y el campo restante indica que puede existir otra información en el registro correspondiente a la arista, tal como un campo ARIS conteniendo los datos etiquetados de la arista cuando G es un grafo con etiquetas, un campo PESO conteniendo el peso de la arista cuando G es un grafo con peso, etc.

Para efectuar una búsqueda de los vértices de un grafo, se pueden emplear dos estrategias diferentes:

Búsqueda en profundidad (BEP): Se comienza en cualquier vértice y en cada paso se avanza a un nuevo vértice adyacente siempre que se pueda. Cuando todos los adyacentes a X hayan sido visitados, se retrocede al vértice desde el que se alcanzó X y se prosigue. Así se consigue etiquetar (visitar) todos los vértices de la componente conexa en que se encuentre el vértice inicial.

Esta técnica se utiliza cuando necesitamos encontrar respuesta a un problema sobre un grafo sin condiciones de optimización.

La idea en general de la búsqueda en profundidad comenzando en un nodo A es la siguiente:

Primero examinamos el nodo inicial A. Luego examinamos cada nodo N de un camino P que comience en A; a sea, procesamos un vecino de A, luego un vecino de un vecino de A y así sucesivamente, hasta llegar a un punto muerto o final del camino P, y de aquí volvemos atrás por P hasta que podamos continuar por otro camino P´ y así sucesivamente.

Este algoritmo es similar al del recorrido inorden de un árbol binario, y también a la forma en que se debe pasar a través de un laberinto. Observe que se hace uso una pila en lugar de una cola, y este es el detalle fundamental que hace la diferencia para realizar la búsqueda en profundidad.

Este algoritmo realiza la búsqueda en profundidad el grafo G comenzando en un nodo A.

1. Inicializar todos los nodos al estado de preparado (ESTADO=1)

2. Meter el nodo inicial A en la pila y cambiar su estado a estado de espera (ESTADO=2).

3. Repetir los pasos 4 y 5 hasta que la pila este vacia.

4. Sacar el nodo N en la cima de la pila. Procesar el nodo N y cambiar su

   estado al de procesado (ESTADO=3).

5. Meter en la pila todos los vecinos de N que estén en estado de

   preparados (ESTADO=1) y cambiar su estado a estado de espera

   (ESTADO=2).

   [ fin de bucle del paso 3 ]

6. Salir.

nota: tomado del libro Estructura de datos, serie schaum Mcgraw-Hill,

pagina: 337, capitulo: 8 Grafos y sus aplicaciones, autor: Seymour Lipschutz

Búsqueda en anchura (BEA): A diferencia con la BEP ahora se visitan todos los vecinos de un vértice antes de pasar al siguiente. Por tanto no hay necesidad de retroceder. Una vez etiquetados todos los vecinos de un vértice X, se continúa con el primer vértice alcanzado después de X en la búsqueda.

Esta técnica se utiliza para resolver problemas en los que se pide hallar una solución óptima entre varias.

En general la búsqueda en anchura comenzando de un nodo de partida A es la siguiente:

Primero examinamos el nodo de partida A.

Luego examinamos todos los vecinos de A. Luego examinamos todos los vecinos de los vecinos de A y así sucesivamente. Con el uso de una cola, garantizamos que ningún nodo sea procesado más de una vez y usando un campo ESTADO que nos indica el estado actual de los nodos.

Este algoritmo realiza la búsqueda en anchura en un grafo G comenzando en un nodo de partida A.

1. Inicializar todos los nodos al estado de preparados (ESTADO=1).

2. Poner el nodo de partida A en la COLA y cambiar su estado a espera (ESTADO=2).

3. Repetir pasos 4 y 5 hasta que COLA esté vacía.

4. Quitar el nodo del principio de la cola, N. Procesar N y cambiar su

   estado a procesado (ESTADO=3).

5. Añadir a COLA todos los vecinos de N que estén en estado de

   preparados (ESTADO=1) y cambiar su estado al de espera

   (ESTADO=2).

   [ fin del bucle del paso 3 ]

6. Salir.

nota: tomado del libro Estructura de datos, serie schaum Mcgraw-Hill,

pagina: 334 - 335, capitulo: 8 Grafos y sus aplicaciones, autor: Seymour Lipschutz

Para lograr el propósito del recorrido mínimo dentro de un grafo G, es necesario para nuestro caso en particular (puesto que no es la única técnica existente) la utilización del algoritmo de WARSHALL para el camino mínimo, el cual se expresa de la forma siguiente:

Sea G un grafo con m nodos, u 1 , u 2 , ..., u m suponga que queremos encontrar la matriz de caminos P para el grafo G. WARSHALL dio un algoritmo para este propósito que es mucho más eficiente que calcular las potencias de la matriz de adyacencia A y aplicar la proposición:

donde sea A la matriz de adyacencia y P = Pij la matriz de caminos de un grafo G entonces, Pij = 1 si y solo sí hay un numero positivo en la entrada ij de la matriz

Este algoritmo de WARSHALL se usa para calcular el camino mínimo y existe un algoritmo similar para calcular el camino mínimo de G cuando G tiene peso.

Un grafo dirigido G con M nodos está en memoria por su matriz adyacente A, este algoritmo encuentra la matriz de caminos (Booleana) P del grafo G.

1. [ Inicializar P ] repetir para I, J =1, 2, ... M:

   si A[ I, J ]=0, entonces: hacer P[ I, J ]:=0;

   si no: hacer P[ I, J ]:=1.

   [ fin de bucle ]

2. [ Actualizar P ] repetir paso 3 y 4 para K=1, 2, ..., M:
3. repetir paso 4 para I=1, 2, ..., M:
4. repetir para J=1, 2, ..., M:

   hacer P[ I, J ]:= P[ I, J ] V ( P[ I, J] ^ P[ K, J ]).

   [ fin de bucle ]

   [ fin de bucle paso 3 ]

   [ fin de bucle paso 2 ]

5. Salir.

nota: tomado del libro Estructura de datos, serie schaum Mcgraw-Hill,

pagina: 322, capitulo: 8 Grafos y sus aplicaciones, autor: Seymour Lipschutz

Cuando se trata de un grafo con peso G de M nodos está memoria mediante su matriz de peso W; este algoritmo encuentra la matriz Q tal que [ I, J ] es la longitud del camino mínimo del nodo VI al nodo VJ . INFINITO es un número muy grande y MIN es la función del valor mínimo.

1. [ Inicializar Q ] repetir para I, J=1, 2, . . ., M:

   si W [ I, J ] = 0, entonces: hacer Q [ I, J ]:= INFINITO;

   si no: hacer Q [ I, J ] := W [ I, J ].

   [ fin de bucle ]

2. [ Actualizar Q ] repetir pasos 3 y 4 para K=1, 2, . . ., M:
3. repetir paso 4 para I = 1, 2, . . ., M:
4. repetir para J = 1, 2, . . ., M:

   hacer Q [ i, J ] := MIN(Q [ i, J ]+ Q [ i, K ]+ Q [ K, J ]).

   [ fin de bucle ]

   [ fin de bucle del paso 3 ]

   [ fin de bucle del paso 2 ]

5. Salir.

nota: tomado del libro Estructura de datos, serie schaum Mcgraw-Hill,

pagina: 324, capitulo: 8 Grafos y sus aplicaciones, autor: Seymour Lipschutz

Dado un grafo simple no dirigido, conexo y ponderado de n nodos etiquetados con los números naturales desde el 1 hasta el n, se numeran los ejes desde 1 hasta m de acuerdo con el orden. Dados a continuación dos nodos cualesquiera, se trata de encontrar el camino más corto entre ambos nodos, utilizando el algoritmo de Dijkstra.

Entrada: En la primera línea, un número natural que indica el número de casos que se van a plantear. Para cada caso, una línea con el número de nodos n del grafo, y la representación decimal del mismo (entero menor que ) separados por un blanco. En la siguiente línea, separados por blancos, m números naturales que representan los pesos de los ejes del grafo. En la siguiente línea, otro número natural p nos dice cuantos pares de nodos se van a proponer, y a continuación aparecen en líneas diferentes y separados por blancos todas estas parejas.

Salida: Para cada uno de los casos propuestos, el fichero de salida contendrá una línea indicando el caso de que se trata en la forma Grafo # con el símbolo # sustituido por el número del caso. Las siguientes m líneas contendrán la lista de adyacencias del grafo en la forma:

siempre separando con blancos y con los nodos adyacentes en orden creciente de número. A continuación, p líneas que resuelven las p parejas de nodos planteadas, componiendo cada línea en la forma:

2

4 49

53 82 53

2

1 2

1 3

8 14728196

81 48 30 64 71 13 91 10 65

3

2 1

4 1

8 1

Grafo 1

1 2 53

2 1 53 4 82

3 4 53

4 2 82 3 53

53 1 2

188 1 2 4 3

Grafo 2

1 4 81

2 6 48 7 30 8 64

3 4 71 6 13

4 1 81 3 71 8 91

5 6 10 7 65

6 2 48 3 13 5 10

7 2 30 5 65

8 2 64 4 91

213 2 6 3 4 1

81 4 1

172 8 4 1

Algoritmo de Dijkstra: Este algoritmo construye el árbol de caminos de longitud mínima entre un vértice fijado V y los restantes vértices en un grafo ponderado.

Observaciones:

1. Los pesos de las aristas deben ser no negativos.

2. El algoritmo de Dijkstra NO proporciona un árbol generador mínimo.

Hasta recientemente todos los trabajos sobre Topología (Digital principalmente) se basaban en un enfoque de Teoría de Grafos. Este enfoque presenta, sin embargo, el problema de determinar la relación de adyacencia más razonable en Zn. Actualmente existen enfoques alternativos basados en nociones de Topología General. En este caso haremos una introducción a algunos de estos enfoques.

1) Rama de la matemática que estudia las propiedades del espacio que son invariantes por homeomorfismos. Se trata de propiedades no métricas, es decir, de propiedades cualitativas, y no cuantitativas, lo que la distingue de la geometría común. Se la suele denominar "geometría débil" o "geometría del caucho". Por ejemplo, una circunferencia es topológicamente equivalente a un cuadrado, por más que sus propiedades métricas sean diferentes

2) Una topología en un conjunto X es una familia de subconjuntos de X que satisface ciertos axiomas (ver espacio topológico).

En esta sección estudiaremos las diferentes estrategias que se han planteado principalmente motivadas por problemas en el área del reconocimiento de formas para dotar a la digitalización D de un conjunto, de una estructura, no necesariamente explícitamente topológica, en términos de la cual formular propiedades de D relacionadas con las propiedades de la imagen original.

Las imágenes 2-dimensionales son las mas ampliamente estudiadas, aunque últimamente las 3-dimensionales están siendo muy utilizadas. También se utilizan imágenes 4-dimensionales para representar imágenes 3-dimensionales en movimiento.

De las estrategias planteadas, la primera y las más utilizada es la introducida por Azriel Rosenfeld en 1970. Se basa en la noción de adyacencia entre puntos de Zn (además de Zn también considera en ocasiones los centros de una teselación del plano por hexágonos). Su enfoque descansa principalmente en nociones de Teoría de Grafos.

Desde entonces la Topología Digital ha proporcionado los fundamentos teóricos para importantes operaciones de procesamiento de imagen, como recuento de objetos, adelgazamiento de imágenes, detección de bordes y relleno de contornos. El adelgazamiento de imágenes es una operación de preprocesamiento en reconocimiento de formas. Su objetivo es reducir el conjunto de puntos de la imagen sin alterar la topología de la misma.

Suponga que S es un grafo tal que cada nodo vi de S representa una tarea y cada arista ( u, v ) significa que la finalización de la tarea u es un pre-requisito para que comience la tarea v. Suponga que tal grafo S contiene un ciclo tal que:

Esto significa que no podemos empezar v hasta completar u, no podemos empezar w hasta terminar v y no podemos empezar u hasta completar w. Así no podemos completar ninguna tarea del ciclo. Por tanto, un grafo S así, que representa tareas y relaciones de precedencia, no puede tener ciclos.

Ahora suponga que S es un grafo sin ciclos, considere la relación < sobre S definida como sigue:

u < v si existe un camino de u a v

Esta relación tiene las siguientes tres propiedades:

1. Para cada elemento u de S, tenemos que u < u. ( Irreflexivilidad )

2. Si u < v, entonces v < u. ( Asimetría )

3. Si u < v y v < w, entonces u < w. ( Transitividad )

Tal relación < sobre S se llama ordenación parcial de S, y S con tal ordenación se llama conjunto parcialmente ordenado o conjunto po. Así, un grafo S sin ciclos se puede considerar un conjunto parcialmente ordenado.

Por lo tanto, puede también suponer que si S es un conjunto parcialmente ordenado con la ordenación parcial denotada por <, entonces S se puede considerar un grafo cuyos nodos son los elementos de S y cuyas aristas están definidas como sigue:

( u, v ) es una arista en S si u < v

más aun, se puede demostrar que un conjunto S parcialmente ordenado, considerado como un grafo, no tiene ciclos.

Por lo tanto; sea S un grafo dirigido sin ciclos (o conjunto parcialmente ordenado). Una ordenación topológica T de S es una ordenación lineal de los nodos de S que preserva la ordenación parcial de S original, o sea, que si u < v en S (si hay un camino de u a v en S), entonces u va delante de la v el la ordenación lineal T, este se muestra en la siguiente figura, donde se incluyen las aristas para indicar que concuerdan con la dirección de la ordenación lineal.

Topología combinatoria:

Rama de la topología que reduce el estudio de curvas y superficies a ciertos esquemas determinados por polígonos curvilíneos, evitando de esta forma pensarlas como conjuntos de puntos, como lo hace la topología conjuntista. El tratamiento combinatorio es más cercano al álgebra, y reduce el concepto de homeomorfismo a unas pocas reglas que permiten decidir cuándo dos esquemas combinatorios son equivalentes.

Topología inducida:

Dado un subconjunto A de un espacio topológico X, se llama topología inducida a la topología definida en A que toma como abiertos a todos los conjuntos de la forma U Ç A, en donde U es un abierto de X. En estas condiciones, se dice que A es un subespacio de X.

Topología usual:

La topología usual del espacio n–dimensional (Rn) tiene como abiertos básicos a las bolas n–dimensionales (abiertas). Es decir, un conjunto de Rn es abierto si y sólo si es unión de cierto número de bolas abiertas. Equivalentemente, diremos que A es abierto si y sólo si para todo punto x Î A existe una bola B contenida en A tal que x Î B (A es entorno de x).

Se llama así a la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia en torno a un eje que no la toque en ninguno de sus puntos. Si bien esta definición es geométrica, las propiedades topológicas del toro son de gran importancia. En especial, la propiedad de tener un asa, o agujero, que determina que existan en el toro lazos no reducibles. Un importante teorema de la topología combinatoria asegura que toda superficie cerrada y orientable es un toro con n agujeros. El caso n = 0 corresponde obviamente a la esfera, si se la piensa como un "toro sin agujeros", y el caso n = 1 es el toro usual. Si bien la definición habitual del toro lo presenta como una superficie sumergida en el espacio tridimensional, es fácil ver que es homeomorfo al producto cartesiano de dos circunferencias, sumergido en R4 (espacio cuatridimensional). Es decir, la definición topológica del toro es: T2 = S1 ´ S1. Esto permite generalizar, y definir al toro n–dimensional como el producto cartesiano de n circunferencias, es decir: Tn = S1 ´ ... ´ S1.

En la topología combinatoria, el toro bidimensional se define identificando dos a dos los lados opuestos de un rectángulo, como muestra la figura:

El siguiente algoritmo encuentra una ordenación topológica T de un grafo S sin ciclos.

1. Encontrar el grado de entrada GraEnt(N) de cada nodo N de S (se puede hacer recorriendo cada lista de adyacencia)

2. Poner en una cola todos los nodos con grado de entrada nulo.

3. Repetir los pasos 4 y 5 hasta que la cola esté vacía.

4. Quitar el nodo N al frente de la cola (haciendo Frente:=Frente + 1)

5. Repetir lo siguiente para cada vecino M de N:

   Hacer GraRnt(M):= GraEnt(M) – 1 (esto elimina la arista de N a M)

   si GraEnt(M)=0, entonces: Añadir M al final de la cola.

   [ fin de bucle paso 5 ]

   [ fin de bucle paso 3 ]

6. Salir.

nota: tomado del libro Estructura de datos, serie schaum Mcgraw-Hill,

pagina: 340, capitulo: 8 Grafos y sus aplicaciones, autor: Seymour Lipschutz

A N E X O

TEMAS AFINES Y

COMPLEMENTARIOS

Caminos y Conexión: Un camino en un grafo es una sucesión de vértices y aristas de la forma v0 a1 v1 a2...vk-1 ak vk donde la arista ai une los vértices vi-1 y vi. Éste es un camino de v0 a vk, de longitud k, siendo v1,...,vk-1 los vértices interiores del camino. Si v0=vk decimos que el camino es cerrado. Un ciclo es un camino cerrado con todas sus aristas distintas y con todos sus vértices distintos (salvo, claro es, los extremos v0=vk).

Propiedades:   

1. El nº de caminos de longitud k de vi a vj es el elemento ij de la matriz M(G)k.

2. Un grafo G es bipartido Û G no tiene ciclos de longitud impar.

3. Se llama distancia entre dos vértices u y v, a la longitud mínima de un camino que conecta dichos vértices y se designa por d(u,v).

4. Se llama diámetro de G a la máxima distancia entre dos vértices de G, diam(G).

Un grafo es conexo si para cada par de vértices u y v existe un camino de u a v. Si G es un grafo no conexo (o disconexo), cada uno de sus subgrafos conexos maximales se llama componente conexa de G.

Un vértice v se llama vértice-corte (o punto de articulación) de G si el grafo G-{v} tiene más componentes conexas que G.

Una arista a de un grafo G se llama puente si G-{a} tiene más componentes conexas que G.

Conexo: un espacio topológico X se dice conexo si no contiene ningún subconjunto abierto y cerrado, excepto Æ y X. Intuitivamente, un conjunto es conexo cuando no está compuesto por dos o más partes separadas. Una definición mucho más fácil de entender es la de conjunto arcoconexo. Sin embargo, se puede probar que ambas nociones no coinciden: todo conjunto arcoconexo es conexo, pero la recíproca es falsa. En la topología usual, todo abierto conexo es también arcoconexo.

Espacio n–dimensional: se llama espacio n–dimensional usual al conjunto Rn, construido como el producto cartesiano R ´ ... ´ R (n veces), en donde R es el conjunto de los números reales. Los elementos de Rn se piensan como vectores de n coordenadas. El vector nulo es aquel cuyas coordenadas son todas 0, y se lo llama "origen" o "centro de coordenadas". Por ejemplo, el plano R2 es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en donde sus dos coordenadas x, y son números reales cualesquiera, y su origen es el vector (0,0). A este espacio se le suele asignar una topología, conocida como topología usual de Rn.

Espacio topológico: se llama espacio topológico a un conjunto X provisto de una topología, es decir, una familia de subconjuntos de X, llamados abiertos, que satisfacen los siguientes axiomas:

1.Æ y X son conjuntos abiertos 2.La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto 3.La unión de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto

Se desprende de la definición que en cualquier espacio topológico X los conjuntos Æ y X son a la vez abiertos y cerrados (ver también: topología usual)

Función continua: dados dos espacios topológicos X e Y, la función f:X® Y se dice continua en un punto a Î X si dado un entorno V del punto f(a) Î Y, existe un entorno U de a tal que f(U) Ì V, es decir, f(x) Î V para todo x Î U. Esto puede expresarse mediante la noción de límite: f es continua en a si

En la topología usual, la noción de continuidad en a equivale a la propiedad de que si {xn} es cualquier sucesión en X que converge a a, entonces la sucesión {f(xn)} converge a f(a). Intuitivamente, podemos decir: "cuanto más se acerca xn a a, más se acerca f(xn) a f(a) ". f se dice continua cuando es continua en todos sus puntos. Equivalentemente, f es continua si y sólo si la imagen inversa de un abierto cualquiera es un conjunto abierto.

Grupo fundamental: dado un espacio topológico X, se puede formar el conjunto de todos los lazos en X que salen de un cierto punto, considerando como equivalentes a dos lazos que se puedan superponer mediante una homotopía (es decir, tales que se pueda deformar a uno de ellos en forma continua hasta obtener el otro). A dicho conjunto se le asigna una estructura (algebraica) de grupo, lo que determina el llamado grupo fundamental de X. Se trata de un invariante topológico muy útil. Por ejemplo, el grupo fundamental de una circunferencia es Z, el conjunto de los números enteros (Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}), hecho que resulta claro pues todo lazo cerrado sobre la circunferencia está determinado unívocamente por la cantidad de vueltas, y el sentido en que se las recorre. El grupo fundamental de un toro es Z ´ Z, pues en este caso deben tenerse en cuenta las vueltas dadas "alrededor" del agujero, y también "a través" del mismo. Este resultado es, claro está, coherente con el hecho de que el toro puede pensarse como el producto cartesiano de dos circunferencias (ver: toro).

Homeomorfismo: se llama homeomorfismo entre dos espacios topológicos X e Y a una función f: X® Y que resulte biunívoca y bicontinua, es decir:

f es "uno a uno" (biunívoca), lo que significa que para cada elemento x Î X existe un único y Î Y tal que f(x) = y y viceversa. Esto permite definir la función inversa, f-¹:Y® X

f y f-¹ son continuas (f es bicontinua)

La noción de homeomorfismo responde a la idea intuitiva de "deformación", y determina cierta clase de equivalencia: dos espacios homeomorfos tienen las mismas propiedades topológicas.

Homología: invariante topológico que asocia a cada espacio topológico una estructura algebraica llamada "complejo". Como invariante, tiene mayor precisión que el grupo fundamental, aunque su definición y cálculo resultan más complicados.

Homotopía: dados dos espacios topológicos X e Y, una homotopía es una función continua h:X ´ [ a,b] ® Y, en donde [ a,b] es un intervalo cerrado. Por comodidad, siempre supondremos que [ a,b] es el intervalo [ 0,1] . Se puede interpretar intuitivamente la noción de homotopía pensando al [ 0,1] como un intervalo de tiempo, y en consecuencia h representa una cierta deformación a partir del instante inicial t = 0, hasta llegar a t = 1 pasando por cada instante t fijo.

Identificar: operación topológica que responde a la noción intuitiva de "pegar". Consiste en definir alguna relación de equivalencia entre puntos de un espacio topológico X, lo que permite definir el espacio cociente. Por ejemplo, si se identifican uno a uno los puntos de dos lados opuestos de un rectángulo, se obtiene una superficie tubular similar a un "cinturón", o una porción de cilindro. En cambio, si esta identificación se efectúa orientando a los dos lados en sentidos opuestos, se obtiene una Banda de Möbius.

Interior: dado un conjunto A, si llama interior de A al mayor abierto contenido en A. Notación: Aº = interior de A . Por definición, es claro que un conjunto es abierto si y sólo si coincide con su interior. El interior de A se puede pensar como el conjunto de puntos de A que no pertenecen a su frontera, es decir: Aº = A - Fr(A).

Intervalo: dados dos números reales a < b, se llama intervalo entre a y b al conjunto de puntos de la recta contenidos entre a y b. Caben cuatro posibilidades, según se incluya o no a cada uno de los extremos:

1. (a,b) = { x Î R / a < x < b } (intervalo abierto)

2. [a,b) = { x Î R / a £ x < b } (intervalo semiabierto)

3. (a,b] = { x Î R / a < x £ b } (intervalo semiabierto)

4. [a,b] = { x Î R / a £ x £ b } (intervalo cerrado)

También se definen los siguientes intervalos no acotados: ( a,+ ¥ ), [ a,+ ¥ ),

( – ¥ , b ), (– ¥ , b ] . Por ejemplo, ( a, + ¥ ) = { x Î R / x > a }. Los símbolos + ¥ y

– ¥ responden únicamente a una mayor simplicidad en la escritura, ya que no se trata de números reales. Por esa razón, todo intervalo no acotado es abierto en su "extremo infinito". Obviamente, el intervalo (– ¥ ,+ ¥ ) equivale a toda la recta R. Es fácil ver que cualquier intervalo abierto es homeomorfo a R.

Invariante: se llama invariante topológico a aquellas propiedades de un espacio topológico que permanecen cuando se le aplica un homeomorfismo. Algunos invariantes muy conocidos son la compacidad, la conexión, el grupo fundamental, la homología, etc. En general, cada teoría matemática tiene sus propios invariantes: así, los invariantes geométricos son las propiedades que conserva una figura cuando se le aplica una rotación o una traslación (movimientos rígidos).

Matrices: la matriz de adyacencia de un grafo G con n vértices {v1,...,vn} es la matriz nxn , M(G)=(aij), donde aij es el nº de aristas que unen vi con vj. La matriz de incidencia de un grafo simple G con n vértices {v1,...,vn} y k aristas {e1,...,ek} es la matriz nxk, I(G)=(bij), donde bij=1 si vi es incidente con ej y bij=0 en caso contrario.

Plano proyectivo: espacio definido en geometría proyectiva, de acuerdo con la idea intuitiva de agregar al plano euclidiano un "horizonte", de modo tal que dos rectas paralelas determinen un (único) punto. Las rectas resultan entonces cerradas, es decir, homeomorfas a una circunferencia, hecho relacionado además con la propiedad que tiene el plano proyectivo de ser compacto. Al horizonte, que también es una recta, se lo suele llamar "recta impropia", pues está compuesta de puntos impropios, también llamados puntos "del infinito".

En la geometría proyectiva los conceptos de "punto" y "recta" son duales, puesto que pueden intercambiarse. Por ejemplo, el enunciado: "Dos puntos determinan una única recta" se transforma en su dual "Dos rectas determinan un único punto", que también es válido, aunque no lo es en la geometría euclidiana.

Poliedro topológico: generalización de la noción geométrica de poliedro. Consiste en un sistema formado por un número finito de polígonos topológicos sujetos a ciertas condiciones, entre las cuales se tiene, por ejemplo, que dos polígonos distintos no tienen puntos interiores comunes, que los lados de los polígonos del sistema coinciden dos a dos, etc.

Polígono topológico: generalización de la noción geométrica de polígono. Consiste en tomar cierto número finito n > 1 de puntos en una circunferencia. Los arcos así determinados serán los lados, y los puntos se llamarán vértices del polígono. El polígono estará formado entonces, por el conjunto de lados y la región interior a la circunferencia.

Recorridos en un Grafo: Un camino euleriano en un grafo es un camino que contiene a todas las aristas del grafo exactamente una vez. Un grafo es euleriano si contiene un camino euleriano cerrado.

Teorema: Un grafo conexo G es euleriano Û Todos los vértices de G tienen grado par.

Consecuencia: Un grafo conexo G tiene un camino euleriano no cerrado Û G tiene, exactamente, dos vértices de grado impar.

Algoritmo de Fleury (para construir un camino euleriano cerrado en un grafo euleriano).

Paso 1.- Se comienza en un vértice cualquiera v0 .

Paso 2.- Si se ha construido el camino v0 a1 v1 a2...vk-1 ak vk con aristas distintas, se elige la arista siguiente ak+1 con las condiciones: (1) ak+1 incidente con vk y (2) no ser puente en el grafo G- {a1,a2,...,ak} (salvo que no haya alternativa).

Paso 3.- Se sigue hasta que el camino contenga todas las aristas.

Un camino hamiltoniano en un grafo es un camino que contiene a todos los vértices del grafo exactamente una vez (salvo v0=vn, si el camino es cerrado). Un grafo hamiltoniano es aquel que contiene un ciclo hamiltoniano.

Propiedad: Un grafo bipartido G=(V1 È V2 , A) con ½ V1½ ¹ ½ V2½ no es hamiltoniano.

Teorema: Sea G un grafo simple de n vértices. Si para todo par de vértices x e y no adyacentes se cumple que d(x)+d(y) ³ n , entonces G es hamiltoniano.

Teorema: Si G es un grafo hamiltoniano entonces, para todo SÌ V se cumple que el número de componentes conexas de G - S, es menor o igual que ½ S½ .

Observación: NO hay caracterización para los grafos hamiltonianos.

1. Balabaniam, N.: Circuitos Eléctricos. MacGraw Hill. 1994. 127 – 135.

2. Balabaniam, N.; Bickart, T.A.; Seshu, S.: Teoría de Redes Eléctricas. Reverté, 1972. 200 – 204.

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Trabajo realizado por:

Felipe Costales